Exact conditions for restoring the mean priority after an agent joins, mixes and leaves — even when the initial rows disagree.
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Current article: G. Bolduc, “Priority-State Dynamics in Open Multi-Agent Systems: Dynamic Membership and History-Dependent Consensus Endpoints,” v07, HORTRAME Research, 2026.
Adding or removing an agent changes both the owners of priority rows and the objective coordinates inside those rows. The paper characterizes the mean returned by a prescribed arrival–mixing–departure history, and exactly when a newcomer can restore the original mean. Incumbent agents need not agree before the transition.
m averages the priority rows. W is the incumbent state; U is the state after the appended agent leaves. The coefficients θ are determined by the prescribed mixing and retained masses. The newcomer’s conditional priority on the original objectives is q.
For θn+1 > 0, this is the unique restoring conditional priority. It is admissible exactly when every component of b is strictly positive, where bT = m(W) − ∑r=1n θrwrT. W, β, γ and T are held fixed as q varies.
Restoration holds exactly when b = 0, independently of q. Zero newcomer influence alone does not preserve the incumbent mean under arbitrary row-stochastic mixing.
Let n ≥ 1. W is a strictly positive n × n row-stochastic matrix. The incumbent insertion masses satisfy 0 < βi < 1. The newcomer row is vT = (γqT, 1 − γ), with 0 < γ < 1 and q a strictly positive probability vector. T is an (n+1) × (n+1) nonnegative row-stochastic matrix; it mixes the fixed expanded population before the appended agent alone departs.
All di are positive, all θr are nonnegative and ∑r=1n+1 θr = 1. For positive newcomer influence, m(U) − m(W) = θn+1(q − q*)T. This theorem allows general row-stochastic T; it does not require symmetry, double stochasticity or a fixed consensus power. It is an offline input-level characterization, not a distributed arrival protocol for an unknown departure time.
If T is also doubly stochastic and all incumbent insertion masses and the newcomer’s self mass equal β, let s = 1 − Tn+1,n+1. For s > 0:
This weighted average is always strictly positive and feasible. For s = 0, every admissible q restores the mean under these equal-retention and double-stochasticity assumptions. With one unweighted undirected Laplacian update and a non-isolated newcomer, q* is the mean of its neighbors’ pre-arrival rows. A longer stay generally requires a different q*; incumbent agreement is not required.
The paper’s two-agent example starts with rows (9/10, 1/10) and (1/10, 9/10). Both incumbent insertion masses are 1/3; the newcomer row is (3/5, 1/10, 3/10). After one complete-graph update with c = 1/4 and proportional removal of the newcomer:
The same agents and labels return, with a different limiting priority under subsequent fixed-epoch average consensus.
For incumbent rows (3/4, 1/4), (1/4, 3/4), equal insertion/self masses 1/3, and the path 1—2—3 with c = 1/4, q = (1/4, 3/4) restores (1/2, 1/2) after one update. Keeping that same q for two updates instead returns (31/64, 33/64). The two-update restoring choice is q* = (1/3, 2/3).
Every row is a strictly positive probability vector over the active objectives. Arrival transforms incumbent row i into [(1 − βi)wiT, βi] and appends a chosen positive probability row vT. Departure selects surviving rows and objective columns, then divides each surviving row by its retained mass:
The survivor set must be nonempty and each retained row mass positive. No pre-event consensus is needed. Removing an immediately appended agent with no intervening evolution recovers W exactly; mixing before departure can change that result. An empty population is outside this mathematical state space.
For n ≥ 2, a fixed connected simple undirected graph and 0 < c < 1/dmax give standard synchronous average consensus. After the last event, that epoch’s row mean is the limiting priority. This supplies the endpoint interpretation of m(U) = m(W); it is not the new restoration theorem. For one agent, P = [1] and the gain test is omitted.
Test endpoint restoration uses the equal-retention corollary with T = Pℓ. It computes q* for the actual expanded graph and prescribed stay, adds that newcomer, performs exactly ℓ committed updates, then removes it. The returned mean is compared with the saved initial mean; export retains the matrices, graph, gain, mixing row, q and measured error.
Ordinary manual arrivals sample a positive newcomer row and need not restore an earlier endpoint. Unplanned membership, priority or graph/gain changes interrupt the controlled trial. The controls do not expose every arbitrary T and unequal-retention input admitted by the general theorem.
The switch at the top of the controls enables uniform or independently varied nonnegative link delays. Moving dots represent messages; amber rings mark robots still waiting and green rings mark readiness. Each required directed link carries its row from the same frozen old state. A loss-free central barrier waits for all deliveries before committing the synchronous update. The simulation clock sets the delay duration; pause freezes it. State or topology changes invalidate obsolete rounds.
This transport changes elapsed time, not the prescribed sequence of logical mixing steps. It does not implement Naderi’s asynchronous delayed-state correction or prove a combined delayed/open-membership protocol.
The robot controller uses the epoch mean applied to the active agents’ fixed spawn positions, separately from the evolving local priority rows. It plans feasible gathering places around obstacles. The animation illustrates motion; the paper claims no new physical-rendezvous or optimization-convergence theorem.
Priority agreement is a numerical tolerance on ‖W − 1m(W)‖F. Celebration also requires settled, connected, collision-free gathering; blocked routes can prevent it. Removing the last robot makes the interface inactive; the next arrival starts a new system. The current membership formulas and browser implementation have not been tested on physical robots.
Admissible membership maps and finite-event continuation can give state-transition semantics to a policy that treats sustained communication loss as deliberate departure and later reconnection as a defined arrival, without requiring prior priority consensus. Re-entry needs a declared state and coherent objective labels.
Fault detection, agreement on membership, connectivity after removal, state transfer and continuing failures require separate mechanisms and arguments. Restoration still depends on the stated conditions. The browser implements neither a loss detector nor this fault-management policy.
The full manuscript retains these three original captures from one browser run. They illustrate the motion controller; they are not measurements of communication delays or a new physical experiment.
The contribution is the prescribed-history endpoint characterization for active-objective probability rows. Fixed-membership priority variation and delays are studied by Naderi and Blondin and Naderi, Blondin and Roy. Open-system dimension changes and state maps already occur in Zhou et al. and Deplano et al.; mass/count accounting under dynamic communication and delay assumptions appears in Hu et al.. The manuscript compares their state semantics and mechanisms, rather than claiming that open membership or changing dimension is new.
Equal final priorities can have an optimization interpretation under the paper’s assumptions; the result does not establish convergence of a decision-update algorithm. The full references and supporting arguments are in the English PDFs.
This work was developed with assistance from AI agents operating within the HORTRAME Systems research architecture. Depending on the research stage, these agents contributed to literature analysis, mathematical formulation, proof reconstruction, adversarial review, counterexample search, simulation and code analysis, verification design, reproducibility checks, revision, and manuscript preparation. AI-agent outputs were treated as research artifacts subject to verification and correction rather than as independent authority. G. Bolduc is the human author responsible for the manuscript, its claims, source selection, and publication decisions. AI-agent review does not constitute independent human peer review, proof-assistant certification, experimental validation, or publication acceptance.
Conditions exactes de rétablissement de la moyenne des priorités après l’arrivée, le mélange et le départ d’un agent — même si les lignes initiales sont en désaccord.
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Article actuel : G. Bolduc, « Priority-State Dynamics in Open Multi-Agent Systems: Dynamic Membership and History-Dependent Consensus Endpoints », v07, HORTRAME Research, 2026.
L’arrivée ou le départ d’un agent modifie à la fois les propriétaires des lignes de priorité et les coordonnées d’objectif dans ces lignes. L’article caractérise la moyenne obtenue après une séquence prescrite d’arrivée, de mélange et de départ, ainsi que les conditions exactes permettant au nouvel agent de rétablir la moyenne initiale. Les agents présents n’ont pas à être d’accord avant la transition.
m désigne la moyenne des lignes de priorité. W est l’état des agents présents; U est l’état après le départ du nouvel agent. Les coefficients θ dépendent du mélange prescrit et des masses conservées. q est la priorité conditionnelle du nouvel agent sur les objectifs initiaux.
Pour θn+1 > 0, cette priorité conditionnelle est l’unique solution restauratrice. Elle est admissible exactement lorsque toutes les composantes de b sont strictement positives, avec bT = m(W) − ∑r=1n θrwrT. W, β, γ et T restent fixés lorsque q varie.
Le rétablissement a lieu exactement lorsque b = 0, indépendamment de q. Une influence nulle ne suffit pas à préserver la moyenne des agents présents sous un mélange stochastique par lignes arbitraire.
Soit n ≥ 1. W est une matrice n × n strictement positive et stochastique par lignes. Les masses d’insertion vérifient 0 < βi < 1. La ligne du nouvel agent est vT = (γqT, 1 − γ), avec 0 < γ < 1 et q un vecteur de probabilités strictement positives. T est une matrice (n+1) × (n+1) non négative et stochastique par lignes; elle mélange la population augmentée fixe avant le départ du seul nouvel agent.
Tous les di sont positifs, les θr sont non négatifs et ∑r=1n+1 θr = 1. Pour une influence positive, m(U) − m(W) = θn+1(q − q*)T. Le théorème admet un mélange T stochastique par lignes général, sans exiger de symétrie, de double stochasticité ni de puissance d’une matrice de consensus fixe. Il s’agit d’une caractérisation hors ligne à données prescrites, pas d’un protocole distribué d’arrivée pour un départ inconnu.
Si T est aussi doublement stochastique et si toutes les masses d’insertion des agents présents et la masse propre du nouvel agent valent β, poser s = 1 − Tn+1,n+1. Pour s > 0 :
Cette moyenne pondérée est toujours strictement positive et admissible. Pour s = 0, tout q admissible rétablit la moyenne sous ces hypothèses de masses conservées égales et de double stochasticité. Avec une mise à jour laplacienne non pondérée sur un graphe non orienté et un nouvel agent non isolé, q* est la moyenne des lignes de ses voisins avant l’arrivée. Un séjour plus long exige généralement un autre q*; l’accord préalable des agents présents n’est pas requis.
L’exemple à deux agents de l’article part des lignes (9/10, 1/10) et (1/10, 9/10). Les masses d’insertion valent 1/3; la ligne du nouvel agent est (3/5, 1/10, 3/10). Après une mise à jour sur le graphe complet avec c = 1/4, puis le retrait proportionnel du nouvel agent :
Les mêmes agents et étiquettes sont revenus, mais la priorité limite diffère sous un consensus moyen ultérieur à époque fixe.
Pour les lignes (3/4, 1/4), (1/4, 3/4), des masses d’insertion et propre égales à 1/3, et la chaîne 1—2—3 avec c = 1/4, q = (1/4, 3/4) rétablit (1/2, 1/2) après une mise à jour. Conserver ce même q pendant deux mises à jour donne plutôt (31/64, 33/64). Le choix restaurateur pour deux mises à jour est q* = (1/3, 2/3).
Chaque ligne est un vecteur de probabilités strictement positives sur les objectifs actifs. L’arrivée transforme la ligne i en [(1 − βi)wiT, βi] et ajoute une ligne de probabilités positives choisie vT. Le départ sélectionne les lignes et colonnes d’objectif restantes, puis divise chaque ligne par sa masse conservée :
L’ensemble restant doit être non vide et chaque masse conservée positive. Aucun consensus préalable n’est nécessaire. Retirer immédiatement un agent nouvellement ajouté, sans évolution intermédiaire, restitue exactement W; un mélange avant le départ peut modifier ce résultat. Une population vide est hors de cet espace d’état mathématique.
Pour n ≥ 2, un graphe simple non orienté, fixe et connexe, avec 0 < c < 1/dmax, donne le consensus moyen synchrone classique. Après le dernier événement, la moyenne des lignes de cette époque est la priorité limite. Cela donne le sens de l’égalité des résultats finaux m(U) = m(W); ce n’est pas le nouveau théorème de rétablissement. Pour un agent, P = [1] et le test du gain est omis.
Tester le rétablissement de la moyenne applique le corollaire à masses conservées égales avec T = Pℓ. L’essai calcule q* pour le graphe augmenté effectif et le séjour prescrit, ajoute le nouvel agent, effectue exactement ℓ mises à jour validées, puis le retire. La moyenne de retour est comparée à la moyenne initiale conservée; l’export contient les matrices, le graphe, le gain, la ligne de mélange, q et l’erreur mesurée.
Les arrivées manuelles ordinaires échantillonnent une ligne positive et ne rétablissent pas nécessairement une ancienne moyenne. Les changements imprévus de composition, de priorité ou de graphe/gain interrompent l’essai contrôlé. Les commandes n’exposent pas tous les mélanges T arbitraires et toutes les masses inégales admis par le théorème général.
Le bouton en haut des commandes active des délais de lien uniformes ou variés indépendamment, toujours non négatifs. Les points mobiles représentent les messages; les cercles ambrés signalent l’attente et les verts l’état prêt. Chaque lien orienté requis transporte sa ligne issue du même état précédent figé. Une barrière centrale sans perte attend toutes les livraisons avant de valider la mise à jour synchrone. Les durées suivent l’horloge de simulation, que la pause arrête. Un changement d’état ou de topologie invalide les tours périmés.
Ce transport modifie le temps écoulé, pas la séquence prescrite des mises à jour logiques. Il n’implémente pas la correction asynchrone des états retardés de Naderi et ne prouve pas un protocole combinant délais et composition ouverte.
Le contrôleur des robots applique la moyenne de l’époque aux positions initiales fixes des agents actifs, séparément de l’évolution des lignes de priorité locales. Il planifie des places de regroupement accessibles autour des obstacles. L’animation illustre le mouvement; l’article ne revendique aucun nouveau théorème de rendez-vous physique ni de convergence en optimisation.
L’accord des priorités repose sur une tolérance numérique sur ‖W − 1m(W)‖F. La célébration exige aussi un regroupement stable, connexe et sans collision; des passages bloqués peuvent l’empêcher. Le retrait du dernier robot rend l’interface inactive; l’arrivée suivante crée un nouveau système. Les formules de composition actuelles et leur implantation dans le navigateur n’ont pas été testées sur des robots physiques.
Les transformations admissibles et la poursuite après un nombre fini d’événements peuvent définir les changements d’état d’une politique qui traite une perte prolongée de communication comme un départ délibéré, puis la reconnexion comme une arrivée définie, sans exiger un consensus préalable. La réintégration nécessite un état déclaré et des étiquettes d’objectif cohérentes.
La détection, l’accord sur la composition, la connectivité après le retrait, le transfert d’état et les défaillances persistantes exigent des mécanismes et arguments distincts. Le rétablissement reste soumis aux conditions énoncées. Le navigateur n’implémente ni détecteur de perte ni cette politique de gestion des défaillances.
Le manuscrit complet conserve ces trois captures originales d’une même exécution. Elles illustrent le contrôleur de mouvement; ce ne sont pas des mesures de délais de communication ni une nouvelle expérience physique.
La contribution est la caractérisation du résultat final d’une séquence prescrite pour des lignes de probabilité sur les objectifs actifs. Les priorités variables et les délais à composition fixe sont étudiés par Naderi et Blondin et par Naderi, Blondin et Roy. Les changements de dimension et les transformations d’état dans les systèmes ouverts existent déjà chez Zhou et ses coauteurs et Deplano et ses coauteurs; Hu et ses coauteurs emploient une comptabilité de masse et de comptage sous leurs hypothèses de communication dynamique et de délais. L’article compare les états et mécanismes, sans présenter la composition ouverte ni la dimension variable comme nouvelles.
Des priorités finales identiques peuvent avoir une interprétation en optimisation sous les hypothèses de l’article; le résultat n’établit pas la convergence d’un algorithme de décision. Les références et arguments complets se trouvent dans les PDF anglais.
Ce travail a été développé avec l’assistance d’agents d’IA opérant au sein de l’architecture de recherche de HORTRAME Systems. Selon l’étape de recherche, ces agents ont contribué à l’analyse de la littérature, à la formulation mathématique, à la reconstruction de démonstrations, à l’examen contradictoire, à la recherche de contre-exemples, à l’analyse des simulations et du code, à la conception de la vérification, aux contrôles de reproductibilité, à la révision et à la préparation du manuscrit. Les productions des agents d’IA ont été traitées comme des artefacts de recherche soumis à vérification et correction plutôt que comme une autorité indépendante. G. Bolduc est l’auteur humain responsable du manuscrit, de ses affirmations, de la sélection des sources et des décisions de publication. L’examen par des agents d’IA ne constitue ni une évaluation par les pairs humains indépendante, ni une certification par assistant de preuve, ni une validation expérimentale, ni une acceptation de publication.