Manuscript v07 · Priority-state maps and history-dependent consensus endpoints
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When does a returning population recover its priority mean?
Adding or removing an agent changes both the owners of priority rows and the objective coordinates inside those rows. The paper characterizes the mean returned by a prescribed arrival–mixing–departure history, and exactly when a newcomer can restore the original mean. Incumbent agents need not agree before the transition.
CENTRAL RESULT · THEOREM 4.1The returned mean is an explicit weighted combination
W→Jβ,v(W)→T Jβ,v(W)→U
m(U) = n∑r=1 θrwrT + θn+1qT
m averages the priority rows. W is the incumbent state; U is the state after the appended agent leaves. The coefficients θ are determined by the prescribed mixing and retained masses. The newcomer’s conditional priority on the original objectives is q.
Positive newcomer influence
q*T = bT / θn+1
For θn+1 > 0, this is the unique restoring conditional priority. It is admissible exactly when every component of b is strictly positive, where bT = m(W) − ∑r=1n θrwrT. W, β, γ and T are held fixed as q varies.
Zero newcomer influence
θn+1 = 0: b = 0
Restoration holds exactly when b = 0, independently of q. Zero newcomer influence alone does not preserve the incumbent mean under arbitrary row-stochastic mixing.
Assumptions, coefficient definitions and exact error
Let n ≥ 1. W is a strictly positive n × n row-stochastic matrix. The incumbent insertion masses satisfy 0 < βi < 1. The newcomer row is vT = (γqT, 1 − γ), with 0 < γ < 1 and q a strictly positive probability vector. T is an (n+1) × (n+1) nonnegative row-stochastic matrix; it mixes the fixed expanded population before the appended agent alone departs.
a = (1 − β1, …, 1 − βn, γ)T
di = n+1∑r=1 Tirar
θr = (ar/n) n∑i=1 Tir/di
All di are positive, all θr are nonnegative and ∑r=1n+1 θr = 1. For positive newcomer influence, m(U) − m(W) = θn+1(q − q*)T. This theorem allows general row-stochastic T; it does not require symmetry, double stochasticity or a fixed consensus power. It is an offline input-level characterization, not a distributed arrival protocol for an unknown departure time.
Equal retention · Corollary 4.2
If T is also doubly stochastic and all incumbent insertion masses and the newcomer’s self mass equal β, let s = 1 − Tn+1,n+1. For s > 0:
q*T = (n∑j=1 Tn+1,jwjT) / s
This weighted average is always strictly positive and feasible. For s = 0, every admissible q restores the mean under these equal-retention and double-stochasticity assumptions. With one unweighted undirected Laplacian update and a non-isolated newcomer, q* is the mean of its neighbors’ pre-arrival rows. A longer stay generally requires a different q*; incumbent agreement is not required.
Why the event history matters: two exact examples
Returning labels do not restore the mean
The paper’s two-agent example starts with rows (9/10, 1/10) and (1/10, 9/10). Both incumbent insertion masses are 1/3; the newcomer row is (3/5, 1/10, 3/10). After one complete-graph update with c = 1/4 and proportional removal of the newcomer:
m(W) = (1/2, 1/2) → m(U) = (16/27, 11/27)
The same agents and labels return, with a different limiting priority under subsequent fixed-epoch average consensus.
A restoring priority depends on the stay
For incumbent rows (3/4, 1/4), (1/4, 3/4), equal insertion/self masses 1/3, and the path 1—2—3 with c = 1/4, q = (1/4, 3/4) restores (1/2, 1/2) after one update. Keeping that same q for two updates instead returns (31/64, 33/64). The two-update restoring choice is q* = (1/3, 2/3).
Arrival, departure and admissible state
Every row is a strictly positive probability vector over the active objectives. Arrival transforms incumbent row i into [(1 − βi)wiT, βi] and appends a chosen positive probability row vT. Departure selects surviving rows and objective columns, then divides each surviving row by its retained mass:
Q = SAWSAT, DA(W) = diag(Q1)−1Q
The survivor set must be nonempty and each retained row mass positive. No pre-event consensus is needed. Removing an immediately appended agent with no intervening evolution recovers W exactly; mixing before departure can change that result. An empty population is outside this mathematical state space.
Background: agreement during a fixed epoch
W(k+1) = PW(k), P = I − cL
For n ≥ 2, a fixed connected simple undirected graph and 0 < c < 1/dmax give standard synchronous average consensus. After the last event, that epoch’s row mean is the limiting priority. This supplies the endpoint interpretation of m(U) = m(W); it is not the new restoration theorem. For one agent, P = [1] and the gain test is omitted.
What the live restoration trial implements
Test endpoint restoration uses the equal-retention corollary with T = Pℓ. It computes q* for the actual expanded graph and prescribed stay, adds that newcomer, performs exactly ℓ committed updates, then removes it. The returned mean is compared with the saved initial mean; export retains the matrices, graph, gain, mixing row, q and measured error.
Ordinary manual arrivals sample a positive newcomer row and need not restore an earlier endpoint. Unplanned membership, priority or graph/gain changes interrupt the controlled trial. The controls do not expose every arbitrary T and unequal-retention input admitted by the general theorem.
Synthetic message delays
The switch at the top of the controls enables uniform or independently varied nonnegative link delays. Moving dots represent messages; amber rings mark robots still waiting and green rings mark readiness. Each required directed link carries its row from the same frozen old state. A loss-free central barrier waits for all deliveries before committing the synchronous update. The simulation clock sets the delay duration; pause freezes it. State or topology changes invalidate obsolete rounds.
This transport changes elapsed time, not the prescribed sequence of logical mixing steps. It does not implement Naderi’s asynchronous delayed-state correction or prove a combined delayed/open-membership protocol.
Motion, agreement and physical evidence
The robot controller uses the epoch mean applied to the active agents’ fixed spawn positions, separately from the evolving local priority rows. It plans feasible gathering places around obstacles. The animation illustrates motion; the paper claims no new physical-rendezvous or optimization-convergence theorem.
Priority agreement is a numerical tolerance on ‖W − 1m(W)‖F. Celebration also requires settled, connected, collision-free gathering; blocked routes can prevent it. Removing the last robot makes the interface inactive; the next arrival starts a new system. The current membership formulas and browser implementation have not been tested on physical robots.
Conditional application to communication loss
Admissible membership maps and finite-event continuation can give state-transition semantics to a policy that treats sustained communication loss as deliberate departure and later reconnection as a defined arrival, without requiring prior priority consensus. Re-entry needs a declared state and coherent objective labels.
Fault detection, agreement on membership, connectivity after removal, state transfer and continuing failures require separate mechanisms and arguments. Restoration still depends on the stated conditions. The browser implements neither a loss detector nor this fault-management policy.
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Manuscrit v07 · Transformations des états de priorité et limites de consensus dépendant de l’historique
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Quand une population retrouve-t-elle sa moyenne de priorité?
L’arrivée ou le départ d’un agent modifie à la fois les propriétaires des lignes de priorité et les coordonnées d’objectif dans ces lignes. L’article caractérise la moyenne obtenue après une séquence prescrite d’arrivée, de mélange et de départ, ainsi que les conditions exactes permettant au nouvel agent de rétablir la moyenne initiale. Les agents présents n’ont pas à être d’accord avant la transition.
RÉSULTAT CENTRAL · THÉORÈME 4.1La moyenne de retour est une combinaison pondérée explicite
W→Jβ,v(W)→T Jβ,v(W)→U
m(U) = n∑r=1 θrwrT + θn+1qT
m désigne la moyenne des lignes de priorité. W est l’état des agents présents; U est l’état après le départ du nouvel agent. Les coefficients θ dépendent du mélange prescrit et des masses conservées. q est la priorité conditionnelle du nouvel agent sur les objectifs initiaux.
Influence positive du nouvel agent
q*T = bT / θn+1
Pour θn+1 > 0, cette priorité conditionnelle est l’unique solution restauratrice. Elle est admissible exactement lorsque toutes les composantes de b sont strictement positives, avec bT = m(W) − ∑r=1n θrwrT. W, β, γ et T restent fixés lorsque q varie.
Influence nulle du nouvel agent
θn+1 = 0 : b = 0
Le rétablissement a lieu exactement lorsque b = 0, indépendamment de q. Une influence nulle ne suffit pas à préserver la moyenne des agents présents sous un mélange stochastique par lignes arbitraire.
Hypothèses, définition des coefficients et erreur exacte
Soit n ≥ 1. W est une matrice n × n strictement positive et stochastique par lignes. Les masses d’insertion vérifient 0 < βi < 1. La ligne du nouvel agent est vT = (γqT, 1 − γ), avec 0 < γ < 1 et q un vecteur de probabilités strictement positives. T est une matrice (n+1) × (n+1) non négative et stochastique par lignes; elle mélange la population augmentée fixe avant le départ du seul nouvel agent.
a = (1 − β1, …, 1 − βn, γ)T
di = n+1∑r=1 Tirar
θr = (ar/n) n∑i=1 Tir/di
Tous les di sont positifs, les θr sont non négatifs et ∑r=1n+1 θr = 1. Pour une influence positive, m(U) − m(W) = θn+1(q − q*)T. Le théorème admet un mélange T stochastique par lignes général, sans exiger de symétrie, de double stochasticité ni de puissance d’une matrice de consensus fixe. Il s’agit d’une caractérisation hors ligne à données prescrites, pas d’un protocole distribué d’arrivée pour un départ inconnu.
Masses conservées égales · Corollaire 4.2
Si T est aussi doublement stochastique et si toutes les masses d’insertion des agents présents et la masse propre du nouvel agent valent β, poser s = 1 − Tn+1,n+1. Pour s > 0 :
q*T = (n∑j=1 Tn+1,jwjT) / s
Cette moyenne pondérée est toujours strictement positive et admissible. Pour s = 0, tout q admissible rétablit la moyenne sous ces hypothèses de masses conservées égales et de double stochasticité. Avec une mise à jour laplacienne non pondérée sur un graphe non orienté et un nouvel agent non isolé, q* est la moyenne des lignes de ses voisins avant l’arrivée. Un séjour plus long exige généralement un autre q*; l’accord préalable des agents présents n’est pas requis.
Pourquoi l’historique compte : deux exemples exacts
Retrouver les mêmes agents ne rétablit pas la moyenne
L’exemple à deux agents de l’article part des lignes (9/10, 1/10) et (1/10, 9/10). Les masses d’insertion valent 1/3; la ligne du nouvel agent est (3/5, 1/10, 3/10). Après une mise à jour sur le graphe complet avec c = 1/4, puis le retrait proportionnel du nouvel agent :
m(W) = (1/2, 1/2) → m(U) = (16/27, 11/27)
Les mêmes agents et étiquettes sont revenus, mais la priorité limite diffère sous un consensus moyen ultérieur à époque fixe.
La priorité restauratrice dépend du séjour
Pour les lignes (3/4, 1/4), (1/4, 3/4), des masses d’insertion et propre égales à 1/3, et la chaîne 1—2—3 avec c = 1/4, q = (1/4, 3/4) rétablit (1/2, 1/2) après une mise à jour. Conserver ce même q pendant deux mises à jour donne plutôt (31/64, 33/64). Le choix restaurateur pour deux mises à jour est q* = (1/3, 2/3).
Arrivée, départ et état admissible
Chaque ligne est un vecteur de probabilités strictement positives sur les objectifs actifs. L’arrivée transforme la ligne i en [(1 − βi)wiT, βi] et ajoute une ligne de probabilités positives choisie vT. Le départ sélectionne les lignes et colonnes d’objectif restantes, puis divise chaque ligne par sa masse conservée :
Q = SAWSAT, DA(W) = diag(Q1)−1Q
L’ensemble restant doit être non vide et chaque masse conservée positive. Aucun consensus préalable n’est nécessaire. Retirer immédiatement un agent nouvellement ajouté, sans évolution intermédiaire, restitue exactement W; un mélange avant le départ peut modifier ce résultat. Une population vide est hors de cet espace d’état mathématique.
Cadre de base : accord pendant une époque fixe
W(k+1) = PW(k), P = I − cL
Pour n ≥ 2, un graphe simple non orienté, fixe et connexe, avec 0 < c < 1/dmax, donne le consensus moyen synchrone classique. Après le dernier événement, la moyenne des lignes de cette époque est la priorité limite. Cela donne le sens de l’égalité des résultats finaux m(U) = m(W); ce n’est pas le nouveau théorème de rétablissement. Pour un agent, P = [1] et le test du gain est omis.
Ce que réalise l’essai de rétablissement
Tester le rétablissement de la moyenne applique le corollaire à masses conservées égales avec T = Pℓ. L’essai calcule q* pour le graphe augmenté effectif et le séjour prescrit, ajoute le nouvel agent, effectue exactement ℓ mises à jour validées, puis le retire. La moyenne de retour est comparée à la moyenne initiale conservée; l’export contient les matrices, le graphe, le gain, la ligne de mélange, q et l’erreur mesurée.
Les arrivées manuelles ordinaires échantillonnent une ligne positive et ne rétablissent pas nécessairement une ancienne moyenne. Les changements imprévus de composition, de priorité ou de graphe/gain interrompent l’essai contrôlé. Les commandes n’exposent pas tous les mélanges T arbitraires et toutes les masses inégales admis par le théorème général.
Délais synthétiques des messages
Le bouton en haut des commandes active des délais de lien uniformes ou variés indépendamment, toujours non négatifs. Les points mobiles représentent les messages; les cercles ambrés signalent l’attente et les verts l’état prêt. Chaque lien orienté requis transporte sa ligne issue du même état précédent figé. Une barrière centrale sans perte attend toutes les livraisons avant de valider la mise à jour synchrone. Les durées suivent l’horloge de simulation, que la pause arrête. Un changement d’état ou de topologie invalide les tours périmés.
Ce transport modifie le temps écoulé, pas la séquence prescrite des mises à jour logiques. Il n’implémente pas la correction asynchrone des états retardés de Naderi et ne prouve pas un protocole combinant délais et composition ouverte.
Mouvement, accord et éléments physiques
Le contrôleur des robots applique la moyenne de l’époque aux positions initiales fixes des agents actifs, séparément de l’évolution des lignes de priorité locales. Il planifie des places de regroupement accessibles autour des obstacles. L’animation illustre le mouvement; l’article ne revendique aucun nouveau théorème de rendez-vous physique ni de convergence en optimisation.
L’accord des priorités repose sur une tolérance numérique sur ‖W − 1m(W)‖F. La célébration exige aussi un regroupement stable, connexe et sans collision; des passages bloqués peuvent l’empêcher. Le retrait du dernier robot rend l’interface inactive; l’arrivée suivante crée un nouveau système. Les formules de composition actuelles et leur implantation dans le navigateur n’ont pas été testées sur des robots physiques.
Application conditionnelle aux pertes de communication
Les transformations admissibles et la poursuite après un nombre fini d’événements peuvent définir les changements d’état d’une politique qui traite une perte prolongée de communication comme un départ délibéré, puis la reconnexion comme une arrivée définie, sans exiger un consensus préalable. La réintégration nécessite un état déclaré et des étiquettes d’objectif cohérentes.
La détection, l’accord sur la composition, la connectivité après le retrait, le transfert d’état et les défaillances persistantes exigent des mécanismes et arguments distincts. Le rétablissement reste soumis aux conditions énoncées. Le navigateur n’implémente ni détecteur de perte ni cette politique de gestion des défaillances.
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